工程监理主要 归建设部门或其下属的监理部门管理。具体来说,根据《工程建设监理规定》第五条,国家计委和建设部共同负责推进建设监理事业的发展,建设部归口管理全国工程建设监理工作。同时,国务院建设主管部门负责全国工程监理企业资质的统一监督管理工作,而省、自治区、直辖市人民政府建设主管部门则负责本行政区域内工程监理企业资质的统一监督管理工作。
此外,虽然存在关于监理公司可能涉及多个部门管理的说法,但根据最新的权威信息,可以明确的是,工程监理主要归属于建设部门的管理范畴。
综上所述,可以得出结论:工程监理主要归建设部门或其下属的监理部门管理。